物理　波動２　正弦波の式

波を数式で表すためにはどうしたらよいでしょうか。波源が単振動をしていることから考えていきましょう。この分野は三角関数の知識を必要とするので、特に現役生が苦手とするところです。具体例を見ながら、ポイントを押さえていきましょう。
ある点(波源)で生じた単振動が波として周囲の媒質を伝わるとき、波形(媒質の各点を連ねた線)は正弦曲線(sine curve)になります。この波を正弦波と呼びます。

単振動の変位の式、角振動数と周期の関係式から、①式が考えられます。これは、原点を一定の角振動数(周期)で振動させたときのある時刻における原点の変位ですね。

波動は同じ波形が媒質を進んでいく現象ですから、媒質のある点は周期的に変位します。ですから、ある点ではどこかの時刻の原点と同じ変位になっているはずです。波の伝わる速さｖと原点の振動が同じ変位のある座標ｘまで伝わる時間をｔ0とすると、これらは上の式のように表せます。これを図にしたものが下の図です。

図から原点から座標ｘまで、ｔ0の時間で進んできた波の変位は、時刻(ｔ－ ｔ0)の原点の変位と同じになります。したがって、①式の時刻ｔを(ｔ－ｔ0)として、ある座標ｘの変位と原点の変位が等しいことから、ある座標ｘの変位の式が求まります。

正弦波の式は上の２つの表現をします。波の伝わる速さを使う場合と、波長を使う場合です(周期Tを括弧の中に入れるとλ＝ｖTで書き換えられます)。問題によって使い分けましょう。

原点の時間変化はｘ＝0を代入すれば求められます(これがもともとの式ですね)。グラフは周期Tのsin関数として描かれます。

時刻２Tのときに媒質の各部分の変位を求めてみましょう。計算すると-sin関数が得られます。したがってグラフは上の図のようになります。

これで媒質の変位をどの時刻でも、どの座標でも求められることになりました。具体例として、１つやってみました。この時刻の、この座標はAの変位であることがわかりますね。
時間の経過とともに変位する波を、すべての座標で追っていくのは難しいことです。そのような波を正弦波の式で定量的に処理できるので、とても便利な方法なのです。導出問題としても出題されることがありますから、今回の流れを自分で導出できるまで何回でもやってみましょうね！