どうも、やまとです。
角周波数ω、最大値ｖ0の交流電源を抵抗・コイル・コンデンサーに接続したとき、それぞれの素子に流れる電流を求めてみましょう。
ｖ0sinωtの交流電源に抵抗Rを接続すると、電圧の変化に伴って同位相で変化する電流が流れます。キルヒホッフの法則から電流の形を求めると、その最大値はオームの法則と同じように書くことができます。この抵抗をレジスタンスといいます。
電圧と電流の時間変化のグラフはsin関数となります。左の図は交流のベクトル図といいます。抵抗の場合は、電圧と電流は同位相で変化するので、電圧と電流の最大値をベクトルとして重ねて書きます。これが角速度ωで等速円運動するときの角が時刻tでの位相に対応し、右のグラフがその時刻での値になります。
コイルに交流電圧を加えると、コイルには常に自己誘導による誘導起電力が生じます。理想的な回路では抵抗が0なので、キルヒホッフの法則は電源電圧と誘導起電力の和が0になります。
ここから、回路に流れる電流を求めますが微積を用いた方法でやってみましょう。微小変化のΔの極限を考えると、それは微分の記号で表せます。両辺をtで積分すると、電流iを導出することができます。電圧との比較をするためにーcos関数をsin関数で表すと位相の部分にーπ/2がでてきます。これは電流の位相は電圧の位相よりもπ/2だけ遅れているということです。この方法は”微分方程式”を解くことになるので高校の範囲からは外れていますが、数Ⅲの微積ができれば十分理解できるので押さえておいた方がいいでしょう。
最大値の部分に着目すると、抵抗に相当する部分はωLと表されており、これをコイルのリアクタンス(誘導リアクタンス)といいます。
電圧を基準にすると電流はπ/2だけ位相が遅れていたので、ベクトル図でも90°後ろにずらしましょう。時間変化のグラフはーcos関数をかけばOKです。
コンデンサーに交流電圧を加えるとコンデンサーは充電と放電を繰り返します。電流は単位時間あたりに導体を流れる電気量で定義されるので、コンデンサーに蓄えられた電気量から考えていきましょう。
ここでは、三角関数の近似を用いた方法で導出してみましょう。電気量の増加分を求め、加法定理と近似を用いて式変形をしていきます。電流の定義から電気量の増加分を時間変化で割ると電流も求めることができます。この方法は三角関数の近似を使って、計算が少し面倒ですが高校の範囲で説明できます。
cos関数をsin関数にそろえると、電流は電圧の位相よりもπ/2だけ進んでいることがわかります。最大値の部分に着目すると、抵抗に相当する部分は1/ωCと表されており、これをコンデンサーのリアクタンス(容量リアクタンス)といいます。
電圧を基準にすると電流はπ/2だけ位相が進んでいたので、ベクトル図でも90°前にずらしましょう。時間変化のグラフはcos関数をかけばOKです。
オマケで微分方程式を解く方法も見ておきましょう。こちらの方が、計算が楽なのは一目瞭然ですね！
抵抗に交流電圧を加えたときの電力の時間平均は1/2v0i0でした。コイルとコンデンサーの場合には0になります。ここはよく問題でも問われるところですから、しっかり押さえておきましょう。
では具体的に問題を解いてみます。抵抗は今までと同じように解けばいいですね。交流では実効値を使えば、オームの法則をそのまま使えます。
コンデンサーに直流を接続すると、電荷が貯まるにつれて徐々に電流は小さくなり十分時間が経過すると0となります。交流を接続すると常に電流が流れます。実効値とリアクタンスでオームの法則を立てることができます。あとは数値計算をしましょう。
コイルに直流を接続すると、初めは誘導起電力によって電流値は徐々に大きくなります。コイル自身には抵抗がないので、十分時間が経過すると電流値が∞になってしまいます。したがって、解答としては非常に大きな電流が流れるとしておきましょう。交流を接続した場合には、実効値とリアクタンスでオームの法則を立てて数値計算をしましょう。
最後に具体例としてスピーカーの原理を見てみましょう。音の重要な要素の１つは周波数です。リアクタンスは交流における抵抗の役割であり、周波数に依存しています。周波数は音の高さを決定する物理量でしたね。
コイルのリアクタンスは周波数に比例しているので、周波数が大きいほど抵抗値が大きいです。逆にコンデンサーのリアクタンスは周波数に反比例しているので、周波数が小さいほど抵抗値が大きいです。つまり、高い音はコンデンサーに、低い音はコイルに担当させるといいということです。
さらに交流電圧に対しての位相のずれは合計πのずれなので、初めから接続を反転させておけばπ＋π＝2πで音がずれることもないですね。これがスピーカーの簡単な原理です。
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
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