物理　力学７　運動量と力積の関係

どうも、やまとです。

加速度と力の関係式は”運動方程式”でした。ここでは 運動についての新しい量を定義し、 運動方程式の表現を変えてみることにしましょう。

同じ速さなら、質量が大きい方が運動に勢いがありそうですね！同じ質量なら、速度が大きい方でしょう。どうやら運動の勢いは”質量”と”速度”によって決めることができそうです。この運動の勢いや激しさを表すのが、運動量です。速度はベクトル量なのでスカラー量である質量との積で得られる運動量もベクトルです(この式は大きさだけを表しています)。単位はそのまま、キログラムメートル毎秒です。

同じ力なら、長い時間をかけた方が物体に対する効果は高いでしょう。同じ時間なら、大きな力の方です。物体に対する効果は”力”と”時間”で表せそうです。この力の時間的効果を表すのが”力積”です。 力はベクトル量なのでスカラー量である時間との積で得られる力積もベクトルです(この式は大きさだけを表しています)。単位はそのまま、ニュートン秒です。

同じような説明がされる、2つの量を新たに定義しました。では、この2つの量にはどのような関係があるか考えてみましょう。

運動方程式の分野では、このようなことをずっとやってきましたね。運動方程式を変形すると、先ほど定義した運動量と力積が出現します。物理ではこのように、様々な量を定義することである式から発展した別の理解を得ることがよくあります。

この式を和訳すると”運動量の変化は、物体に与えられた力積に等しい”です。元の運動方程式も重要でしたが、そこから出てきた運動量と力積の関係も超重要です！

”＝”で結べるということは、”同じ次元である”ということです。 つまり文字式で表された式は単位を確認することで、その式の形が妥当かどうかを判断することができます。これを次元解析と言います。問題を解くときにも、単位を確認する余裕を持ちたいですね。

運動量と力積の関係の重要なところは、”複雑な力の途中経過を運動量の変化で表すことができる”という点です。物体の衝突問題では、グラフのように短時間のうちに力が大きく変化します。これを考えるのはなかなか難しそうですね。それを運動量の変化と力が加えられた時間で表すと、単位時間あたりの平均の力を考えることができます。曲線のグラフの面積を赤の長方形の面積に均すということです。この考えは後ほど、熱力学で威力を発揮します。

運動量と力積はベクトル量ですから、平面における運動にそのまま拡張することができます。図のようにボールをバットで打つようなときには、ボールの運動の方向と力の向きは一致しません。しかし、運動量と力積の関係を運動量ベクトルと力積ベクトルの演算に置き変えると上のようになりますね。ベクトルの引き算が苦手なら、”マイナスのベクトルを足す”という方法で行いましょう。

運動量と力積の関係は、それ自身が重要な関係式であることに違いませんが、これを使って力学２つ目の”保存則”を導いていくことになります。エネルギー保存則もそうですが、”変化の中で変わらないもの”に着目して未知の量を求めるのです。