物理　力学５　重心

どうも、やまとです。

今回は”重心”について見ていきましょう。重心は”物体の重力の合力がはたらく点”のことです。剛体にはたらく力の合力で、並行にはたらく力の合力を求めました。これはある1点で物体を支えることができる点ですから、まさにこれは重心を求めることです。

考え方としては”物体を細かく切り分けたときに描く部分にはたらく重力の和を求める”ということです。それはすべて並行で同じ向きにはたらく力ですから、２つの力を合成していくとやがて１つにまとめることができます。これが重心です。

2つの力を合成した作用点は力の逆比に内分する点でした。それを求めるためには力のモーメントのつりあいを考えたのでした。ここで、うでの長さを一般化した座標で表し、力のモーメントのつりあいの式に代入します。これを重心の座標について解いていくと、重心公式が得られます。重心公式は物体のある点を原点とすることで、重心位置を簡単に求めることができます。

重心公式をさらに一般化してみましょう。軽い棒でつないだ2つの物体から拡張して、ｎ個の物体をつなげます。重心公式は質量と質量と物体の座標の積で表されるシンプルな式ですから、2つの重力を合成し、合成したものと3番目の重力を合成し…と続けていけばいいのです。すると上のような式が出てきます。ｎ個の項を書くのは大変ですから、数学の記号の∑(シグマ)を使います。∑は和の記号です。iを1からnまで変えながら、全部を足し算しなさいという意味になります。これはy座標についても同様に考えることができます。

形がわかりやすい物体は重心公式を使って重心を求めることができますが、複雑な形の物体は簡単に計算はできません。しかし、実験をすることによって求めることが可能です。物体のある点をひもで吊ればやがて静止します。重心は重力の合力の作用点ですから、このひもの作用線上に重心があります。したがって、別の点でつりあいがとれれば、この作用線と先ほどの作用線の交点が重心位置だということになります。

また、対照的な図形はその中心に重心があり、三角形は中線を2：1に内分する点だということは中学の数学でも習います。この知識を使って解く問題もありますから、確認しておきましょう。また問題によっては密度が一様でない物体も出題されます。どこに重力がはたらくかというのは、力学ではとても重要なことですから、問題をよく読んで確認しましょう。