物理　力学15　万有引力

どうも、やまとです。

高校物理の力学も最後の分野、”万有引力”です。特に惑星の運動について見ていくことになります。ここは他の分野との絡みが少ないので、どうしても手薄になりがちです。出題されたときに忘れていて手が出ないということがないように、定期的に確認をするといいでしょう。

ヨハネス・ケプラーは師匠であるティコ・ブラーエの観測記録から 、上の3つの法則を発見しました。惑星の運動では長さの単位がメートルでは値が大きすぎて扱いづらいですので、”天文単位”という単位で表します。記号はau(astronomical unit)です。

3つの法則を詳しく見ていきましょう。

第1法則は”楕円軌道の法則”です。楕円は２つの焦点からの距離が一定の図形です。太陽系の惑星は太陽が焦点です(もう一方の焦点には何もありません)。

第2法則は”面積速度一定の法則”です。面積速度とは、惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間あたりに掃く面積のことです。楕円の一部分の面積を求めることは難しいですから、近日点と遠日点の速度ベクトルで近似をすることが多いです。

第3法則は”調和の法則”と言われます。惑星の周期の2乗と半長軸の3乗の比をとると、太陽系のどの惑星もほとんど1となり、一定であることがわかります。第3法則は第1・第2法則から10年ほど遅れて発表されました。膨大な観測結果から、この法則を発見することの大変さがわかりますね。

ケプラーの法則は、今までと比べると難解です。そもそも実験結果ですから、導出をなぞることができないのです。とにかくここはシンプルにまとめて、難しく考えこまないようにしましょう。

アイザック・ニュートンは、自身が発見した運動の法則と、このケプラーの法則を元に”万有引力の法則”を導きました。ケプラーの第1法則で惑星の運動が楕円であるとなっていますが、これを近似的に円と考え、惑星が等速円運動をするということにします。

円運動をするためには向心力が必要です。これを運動方程式とケプラーの第3法則から導いていきます。

式変形をしていくと、惑星にはたらく力が太陽との距離の2乗と惑星の質量に依存することがわかります。また作用・反作用の法則から、太陽は惑星から力を受けており、その力は太陽の質量に依存するはずです。それを合わせると、太陽と惑星の間には④式のような形の引力がはたらいていることになります。

万有引力の法則をまとめると、上のようになります。万有引力はあらゆる物体にはたらきますが、万有引力定数が”-11乗”という非常に小さな値なので、質量が惑星レベルの大きくないと効いてきません。

万有引力は重力のもとになっている力ですから”保存力”です。次回は万有引力の位置エネルギーについて考えていきましょう。