物理　力学14　単振動のエネルギー

どうも、やまとです。

単振動の具体例の続きです。水平ばね振り子、鉛直ばね振り子、単振り子などがよく出題されます。鉛直ばね振り子は演習問題として別記事で解説したいと思います。

少し発展的な単振動の例として、単振り子があります。このタイプを解くには１つの方法として、”円弧に沿った軸を考える”ことがあります。θが小さいときの近似として、重力のsin成分が復元力としてはたらきます。-Kx型の復元力を見つけることが単振動の問題を解くための第１ステップです！

円弧に沿った方向の運動方程式を立て、係数比較から角振動数を出し、周期を求めます。これが単振動を解く第２ステップですね！

単振り子はθが小さいときの近似式として成り立ります。このとき、周期の式は糸の長さだけに依存していることがわかります。これを振り子の等時性といい、この性質から重力加速度を求めることができます。

ここで、単振動の力学的エネルギーについて見てみます。滑らかな面上の水平ばね振り子では、運動エネルギーと弾性力による位置エネルギーが保存しています。速度と変位を単振動の量として表してエネルギーの式に代入してまとめると、上のようになります。この振幅の２乗によって決まるエネルギーが、のちに学ぶ波動のエネルギーです。

センター試験では数年に一度、次元解析の問題が出題されます。物理量の次元は単位を使って表してもいいですが、より統一感を持たせて分かりやすいようにアルファベット一文字を使って表します。具体的には質量(Mass)、長さ(Length)、時間(Time) のそれぞれの頭文字の MLT の組み合わせで表します。単位を作るためには、この次元を M → kg、L → m、T → s に置き換えればいいのです。次元解析は高校生が見たこともない式で考えさせますが、落ち着いて次元(単位)を考えれば大丈夫です。

最後に、単振動の問題を解くための超重要テクニックについて見ていきます。鉛直ばね振り子のような問題は、運動エネルギー、重力による位置エネルギー、弾性力による位置エネルギーを考えていくので式が複雑になりがちです。単振動の振動中心は力のつりあいの位置ですから、つりあいの関係をエネルギー保存の式に当てはめると、位置エネルギーの式の形をそろえることができます。

このようにして得られた単振動の位置エネルギーは式の形が弾性力による位置エネルギーと同じなのでややこしいですが、まったくの別物です。青で書いた式は重力による位置エネルギーと弾性力による位置エネルギーを含めた量であることに注意してください。

この力学的エネルギー保存則を使いこなせれば、鉛直ばね振り子の問題がかなり解きやすくなります。演習を積んで、ぜひマスターしてください。