物理　力学11　等速円運動

どうも、やまとです。

ここから高校物理の力学の、最後の一山です。円運動や単振動は、入試においても頻出の分野であり、重要項目がたくさんあります。今までに学んだことを生かして、積み上げていきましょう！

円運動を扱うときには、今まで使っていた角度(°)から弧度(rad)への変換が必要です。弧度を使えば円周の長さを、円の半径と角の大きさの積で表すことができます。

物体が円周上を動く速さは、単位時間あたりの回転角である”角速度”を定義し、速さの定義式に乗せます。すると、円運動の速さは円の半径と角速度の積で表されます。まずはこの式を覚えておきましょう。

物体が円周上を１回転するのにかかる時間を”周期”といいます。円の１周の長さは２πｒですから、これを速さで割ればいいですね！速さに先ほどの式を使えば、角速度ωを使った表記になります。

また、１秒間に回転する回数を”回転数”といい、これは周期の逆数で表せます。例えば、１秒間に10回転する物体の周期は、1/10＝0.1秒です。したがって、回転数の単位であるHz(ヘルツ)は1/sという単位と同値です。

角速度と回転数の関係は上の２つの式から導出するのがいいでしょう。この式の意味は”ｎ周したときの回転角が何radなのか”ということですね。

さて、等速円運動は一定の速さではありますが常に向きが変わります。したがって、速度は常に変化しています。ということは、常に加速度が発生しています！加速度を求めるために、わかりやすく対照的な２点を考えましょう。円運動の速度の向きは円の接線方向です。速度の変化はオレンジのベクトルとなります。このベクトルはどの２点で考えても、円の中心方向を向くことになります。加速度は単位時間あたりの速度変化ですが、Δvの大きさは非常に短い時間(小さな角の変化)で考えると右の図の赤で描いた円周の長さに近づいていきます。これを使って計算すると下のような式になります。

加速度は数学で微積を学んだあとであれば、速度を時間微分することで求められます。そこまでいってなければ、今のような形で図形的に処理するしかありません。今までに学んだこともそうですが、数学のレベルが上がることによって覚える量が劇的に減り、理解が深まることがたくさんあります。

図形からの導出は大変ですから、加速度の式は覚えてしまいましょう。円運動の速さを使って書き変えれば、３通りの方法で表すことができます。問題では後半の２つをよく使用します。

運動方程式を考えると、加速度が生じているということは物体には力がはたらいています。つまり、円運動をするためには円の中心方向に力がはたらく必要があるということです。この力を”向心力”と呼びます。向心力は、張力・摩擦力・弾性力・垂直抗力など様々な力が担います。また等速円運動のときには特に考慮する必要はありませんが、鉛直面内の円運動などは等速ではありません。速度の大きさや加速度の大きさが常に変化することになるので注意が必要です。