大学入試演習　力学３　斜面上をすべり降りる物体

2004年度、東京大学の問題です。斜面をすべる三角台とその台上を動く物体の運動です。複数の物体が別の運動をする題材は頻出です。

問題の設定は
・質量Mの三角台Aの右端に質量ｍの小物体Bを置き、左向きのFの力で支える。

Ⅰ　AとBの摩擦なし　Fをなくした後の運動について

Ⅱ　点Pまで、AとBの摩擦あり
問４　AとBが一体となって動くとき
問５　静止摩擦係数の決定
問６　AとBが別の運動をするときのBの軌跡

問６はグラフの選択ですが、なかなか難しいですね！

力学ではどんな問題でも、まずは物体にはたらく力を書き込み、運動方程式を考えましょう。特に加速度が０の場合は、力のつりあいの式を立ててもいいでしょう。

また、問題文から条件が足りないと思ったときには、束縛条件を考える必要があります。力学２の問題でも触れたように、変位、速度、加速度について、図から得られる条件の式を立てることができます。

問１では物体は静止しているので、力のつりあいの式を立てます。解答では別個に立てましたが、Bの垂直抗力を求める必要はないので、 A、Bを合わせてもいいでしょう。

物体にはたらく力は、①重力、②接触力をもれなく描きます。Aにはたらく斜面からの垂直抗力を忘れないように。

問２ではFをなくして、Aが斜面をすべります。このとき、Bには水平方向の力がないので、鉛直真下に移動します。Aは直角二等辺三角形なので、Bが左端に達するまで(A上をｄだけ動く間)に鉛直方向にｄだけ動いています。

BがAの左端に達する直前の速さをV、ｖとし、そのときの高さを位置エネルギーの基準としましょう。すると力学的エネルギー保存則の式は上のようになります。

ここで速さについての束縛条件から、AとBの鉛直成分が等しく、Aの斜面に沿った速さとの関係はV＝√2ｖとなりますね。これを用いてｖについて解きましょう。

問４ではA、Bは一体となって動くので、２つを合わせた運動方程式を立てるのが楽ですね。ここでは加速度についての束縛条件から、ｘ、ｙ方向の加速度成分を求めることができます。

すべり出す直前の摩擦力は最大摩擦力になっています。Bの運動方程式をｘ、ｙ方向それぞれについて立て、問４の結果を使うと垂直抗力R’が求まり、ｘ方向の式から静止摩擦係数が求まります。

Bが摩擦のある区間を動くときは、ｘ、ｙ方向ともに加速度運動をしています。したがってBの軌跡は直線となります。

その後、摩擦の内面を動くときにはｘ方向については等速、ｙ方向については等加速度で運動するので、斜め下の斜方投射の軌跡を描きます。